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Decodificando la geometría de la música: resuelto un problema matemático de hace 70 años

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Decodificando la geometría de la música: resuelto un problema matemático de hace 70 años

Los investigadores han logrado avances significativos en geometría espectral al demostrar un caso especial de la conjetura de Polya relacionada con los valores propios de un disco. Su trabajo, que combina elegancia teórica y posibles aplicaciones prácticas, resalta el valor universal y la belleza artística de la investigación matemática. Crédito: SciTechDaily.com

Un profesor y sus colaboradores han demostrado la conjetura de Pólya sobre los valores propios de un disco, un problema matemático complicado.

¿Es posible deducir la forma de un tambor a partir de los sonidos que emite?

Este es el tipo de pregunta que le gusta hacer a Iosif Polterovich, profesor del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Montreal. Polterovich utiliza la geometría espectral, una rama de las matemáticas, para comprender los fenómenos físicos que implican la propagación de ondas.

Avance en conjetura matemática

El verano pasado, Polterovich y sus colaboradores internacionales –Nikolay Filonov, Michael Levitin y David Sher– demostraron un caso especial de una famosa conjetura en geometría espectral formulada en 1954 por el eminente matemático húngaro-estadounidense George Pólya.

La conjetura implica estimar las frecuencias de un tambor redondo o, en términos matemáticos, los valores propios de un disco.

Funciones matemáticas de Bessel

Este gráfico muestra las funciones de Bessel, donde los puntos corresponden a las frecuencias de los sonidos de un tambor redondo. Crédito: Michael Levitin

El propio Pólya confirmó su conjetura en 1961 para dominios que se superponen a un plano, como triángulos y rectángulos. Hasta el año pasado, sólo se conocían conjeturas para estos casos. El disco, a pesar de su aparente sencillez, siguió siendo esquivo.

«Imagínese un piso infinito cubierto de baldosas de la misma forma que encajan para llenar el espacio», dijo Polterovich. “Se puede revestir con cuadrados o triángulos, pero no con discos. En realidad, un disco no tiene una buena forma para colocar mosaicos.

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La universalidad y el impacto de las matemáticas.

En un artículo publicado en julio de 2023 en la revista matemática. Inventos matemáticosLos investigadores demuestran que la conjetura de Pólya es cierta para el disco, caso considerado particularmente difícil.

Aunque su resultado tiene principalmente valor teórico, su método de prueba tiene aplicaciones en matemáticas computacionales y computación digital. Los autores están estudiando actualmente esta vía.

José Polterovich

José Polterovich

“Aunque las matemáticas son una ciencia básica, en algunos aspectos son similares a los deportes y las artes”, dijo Polterovich.

“Tratar de demostrar una conjetura de larga data es un deporte. Encontrar una solución elegante es un arte. Y en muchos casos, los grandes descubrimientos matemáticos resultan útiles: basta con encontrar la aplicación adecuada.

Referencia: “La conjetura de Pólya para las bolas euclidianas” por Nikolay Filonov, Michael Levitin, Iosif Polterovich y David A. Sher, 5 de junio de 2023, Inventos matemáticos.
DOI: 10.1007/s00222-023-01198-1

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Urano y Neptuno no están hechos de lo que pensábamos, según un nuevo estudio

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Urano y Neptuno no están hechos de lo que pensábamos, según un nuevo estudio

Los astrónomos han creído durante mucho tiempo que los gigantes de hielo Urano y Neptuno son ricos en agua helada. Sin embargo, un nuevo estudio sugiere que también podrían contener toneladas de hielo de metano.

Los resultados podrían ayudar a resolver el enigma sobre cómo se formaron estos mundos helados.

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La NASA dice que los desechos espaciales que se estrellaron contra una casa en Florida provenían de la ISS

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La NASA dice que los desechos espaciales que se estrellaron contra una casa en Florida provenían de la ISS

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Por qué envejecemos más lentamente en el espacio

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Por qué envejecemos más lentamente en el espacio

La idea de que alguien pueda envejecer más lentamente mientras viaja en el espacio parece ciencia ficción, pero es una afirmación respaldada no sólo por la física, sino también por experimentos del mundo real.

En nuestra experiencia diaria, el tiempo siempre pasa al mismo ritmo que regularmente pasamos del pasado al futuro.

Sin embargo, nuestras mejores teorías de la física del tiempo son las teorías gemelas de la relatividad de Einstein: tanto especial como general.

Como sugiere el nombre, el tiempo es relativo: la cantidad de tiempo que pasas en relación con otra persona depende de lo que ambos hacen y de dónde se encuentran exactamente en el Universo.

Las astronautas de la NASA Christina Koch (arriba) y Jessica Meir (abajo). Los astronautas de la Estación Espacial envejecen más lentamente que los de nosotros en la Tierra. Crédito: NASA

Comprender la relatividad del tiempo.

Imagina que tienes un presupuesto para gastar, un presupuesto igual a la velocidad de la luz.

Este presupuesto hay que dividirlo entre viajar en el espacio y viajar en el tiempo.

Cuanto más rápido viajas por el espacio, menos presupuesto dedicas a viajar en el tiempo.

En otras palabras, cuanto menos tiempo pasa, más rápido viajas a la velocidad de la luz en comparación con alguien que viaja más lento.

Lleva a los astronautas a bordo de la Estación Espacial Internacional. Orbitan la Tierra a 27.500 kilómetros por hora.

Gastan más presupuesto que nosotros en velocidad y, por lo tanto, tienen menos tiempo libre. Por tanto, envejecen más lentamente.

Los astronautas y los viajes en el tiempo.

El Estudio de Gemelos de la NASA comparó a los gemelos astronautas Scott (izquierda) y Mark (derecha) Kelly, para observar el efecto de los vuelos espaciales en el proceso de envejecimiento.  Crédito: NASA
El Estudio de Gemelos de la NASA comparó a los gemelos astronautas Scott (izquierda) y Mark (derecha) Kelly, para observar el efecto de los vuelos espaciales en el proceso de envejecimiento. Crédito: NASA

Los gemelos Mark y Scott Kelly son un ejemplo fascinante de este efecto, conocido como dilatación del tiempo.

Ambos astronautas viajaron a la ISS, pero Scott pasó aproximadamente diez veces más tiempo en el espacio.

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Mark nació seis minutos antes que su hermano, pero ahora es seis minutos y 5 milisegundos mayor porque Scott envejecía más lentamente cuando viajaba a gran velocidad alrededor de la Tierra.

Esto ha sido estudiado y documentado en Estudio de gemelos de la NASA.

En febrero de 2024, Oleg Kononenko batió el récord de tiempo transcurrido en órbita alrededor de la Tierra, lo que le convirtió en el mayor viajero en el tiempo de la humanidad.

Un astronauta que pasa 1.000 días orbitando la Tierra salta 0,027 segundos hacia el futuro.

Puede que esto no parezca mucho, pero se debe a que la velocidad de la ISS es pequeña en comparación con la velocidad de la luz.

El cosmonauta Oleg Kononenko batió el récord de tiempo transcurrido en órbita alrededor de la Tierra en febrero de 2024. Crédito: Bill Ingalls/NASA/Getty Images
El cosmonauta Oleg Kononenko batió el récord de tiempo transcurrido en órbita alrededor de la Tierra en febrero de 2024. Crédito: Bill Ingalls/NASA/Getty Images

Viajando en el tiempo casi a la velocidad de la luz

Imagínese si pudiera viajar a una velocidad cercana a la de la luz en un gran circuito a través del espacio que lo llevaría de regreso a la Tierra.

Para ti habrán pasado diez años durante tu viaje, pero en la Tierra –donde una parte considerable de nuestro presupuesto se ha gastado en tiempo– habrían pasado 7.000 años.

Habrías negociado el día 21.calle siglo para el 91calle – un verdadero viaje en el tiempo según cualquier libro.

Hay otra manera de lograr la misma hazaña. El tiempo también pasa más lentamente cuanto más te acercas a objetos masivos.

En otras palabras, una fuerte gravedad alarga el tiempo.

Si te quedaras cerca de un agujero negro supermasivo, por ejemplo, y luego regresaras a la Tierra, también podrías saltar miles de años hacia el futuro de la Tierra.

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Los astronautas se ven afectados por ambas formas de dilatación del tiempo, pero en la Estación Espacial Internacional su velocidad supera el efecto de estar más lejos de la Tierra y, por lo tanto, en general envejecen más lentamente.

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